Diskreta grupo

Ĉi tiu artikolo bezonas poluradon, ĉar ĝi montras stilajn kaj/aŭ gramatikajn kaj/aŭ strukturajn problemojn, kiuj ne konformas al stilogvido. La priskribo de la problemo troviĝas ĉi tie. Bonvolu ŝanĝi la enhavon por plibonigi la artikolon.

En matematiko, diskreta grupo estas grupo G ekipita per la diskreta topologio. Kun ĉi tiu topologio G iĝas topologia grupo. diskreta subgrupo de topologia grupo G estas subgrupo H kies relativa topologio estas la diskreta. Ekzemple, la entjeroj, Z, formas diskretan subgrupon de la reelaj nombroj, R, sed la racionalaj nombroj, Q, ne.

Ĉar topologiaj grupoj estas homogenaj, oni bezonas nur rigardi solan punkton por difini, ĉu la grupo estas diskreta. Aparte, topologia grupo estas diskreta se kaj nur se, la aro konsistanta el nur unu ero kaj enhavanta la identon estas malfermita aro (se konsideri la grupon kiel topologia spaco), aŭ ekvivalente se kaj nur se la identa ero estas ena punkto de la aro enhavanta nur ĝin, aŭ ekvivalente se kaj nur se ekzistas tia nombro d ke la grupo ne enhavas iun ajn eron pli proksiman al la identa ero ol la distanco d.

Iu ajn grupo povas esti donita per la diskreta topologio. Ĉar ĉiu mapo de diskreta spaco estas kontinua, la topologiaj homomorfioj de diskreta grupo estas akurate la grupaj homomorfioj de la suba grupo. De ĉi tie, estas izomorfio inter la kategorioj de grupoj kaj de diskretaj grupoj kaj ja, diskretaj grupoj povas ĝenerale esti identigitaj kun la subaj ne-topologiaj grupoj. Kun tio en menso, la termino diskreta grupa teorio signifas la studon de grupoj sen topologia strukturo, kontraste al topologia aŭ teorio de grupoj de Lie. Ĝi estas dividita, logike sed ankaŭ teknike, en finian grupan teorion, kaj malfinian grupan teorion.

Se G estas finia aŭ kalkulebla (kalkuleble malfinia) grupo, tiam la diskreta topologio sufiĉas al fari ĝin nulo-dimensian grupon de Lie. Ĉar la nura topologio de Hausdorff sur finia aro estas la diskreta, finia topologia grupo de Hausdorff devas laŭbezone esti diskreta.

Estas iuj fojoj kiam topologia grupo aŭ grupo de Lie estas utile dotitaj kun la diskreta topologio, 'kontraŭ naturo'. Tio okazas ekzemple en la teorio de la Bohr-kompaktigo, kaj en grupa kunhomomorfia teorio de Lie-grupoj.

Diskreta subgrupo H de G estas kunkompakta se estas kompakta subaro K de G tia, ke HK = G.